Como funciona o GPS?
O sistema GPS (Global Positioning System) é composto de pelo menos 24 satélites em órbita em torno da Terra em seis planos que fazem um ângulo de 55 graus com o plano equatorial. A posição dos satélites é conhecida a todo o tempo, e os relógios dos satélites estão perfeitamente sincronizados. Os satélites enviam sinais repetidos periodicamente. O receptor é equipado com um relógio e pelo menos quatro canais. Que recebe os sinais de pelo menos quatro satélites e medidas (no seu relógio!) e os tempos de trânsito de pelo menos quatro sinais. No entanto, uma vez que o seu relógio não é necessariamente sincronizado com o relógio dos satélites, estes tempos são tempos de trânsito fictícios. Isso produz um sistema de quatro equações com quatro incógnitas: as três coordenadas do receptor, bem como a transição entre o relógio dos satélites e do registo. Este sistema de equações tem duas soluções, uma das quais é a localização real do receptor.Na prática, é mais complicado que isto. De facto, a velocidade dos satélites é suficientemente grande para que todos os cálculos devam ser corrigidos para ter em conta os efeitos da relatividade especial. Uma vez que os relógios dos satélites viajam mais rápidamente do que os da Terra, estes funcionam mais devagar que os que estão aqui fixos. Além disso, os satélites estão relativamente próximos à Terra, que tem uma massa significativa. A Relatividade geral prevê um pequeno aumento da velocidade dos relógios a bordo dos satélites. Se tomarmos para modelo da Terra uma massa não rotativa esférica grande, sem qualquer carga elétrica, o efeito é relativamente fácil de calcular usando a métrica de Schwarzschild, que descreve os efeitos da relatividade geral sob estas condições simplificadas. Felizmente, esta simplificação é suficiente para captar o efeito real de alta precisão. Mas os dois efeitos devem ser considerados porque mesmo que eles funcionem em direcções opostas, apenas em parte se anulam mutuamente.Uma fonte normal de erros nos cálculos é a estimativa da velocidade do sinal. O GPS diferencial permite a obtenção de uma precisão muito superior, através da estimativa com maior precisão da velocidade dos sinais.O GPS é usado em geografia para medir a altura das montanhas e medir o seu crescimento. Têm sido usados para estabelecer a altura oficial do monte Everest e confirmar que ela é realmente a mais alta montanha da Terra. Existe matemática muito interessante no sinal do GPS.
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How does the GPS work?
The GPS system (Global Positioning System) is composed of at least 24 satellites orbiting around the Earth in six planes making an angle of 55 degrees with the equatorial plane. The position of the satellites is known at all time, and the clocks of the satellites are perfectly synchronized. The satellites send signals repeated periodically. The receiver is equipped with a clock and at least four channels. It receives the signals of at least four satellites and measures (on its clock!) the transit times of at least four signals. However, since its clock is not necessarily synchronized with the clock of the satellites, these times are fictitious transit times. This yields a system of four equations in four unknowns: the three coordinates of the receiver, and the time shift between the clock of the satellites and that of the register. This system of equations has two solutions, one of which is the actual location of the receiver.
In practice, it is more complicated. Indeed, the speed of the satellites is sufficiently large that all of the calculations must be adapted to account for the effects of special relativity. Since the clocks on the satellites are traveling faster than those on Earth, they run slower. Furthermore, the satellites are in relatively close proximity to the Earth, which has significant mass. General relativity predicts a small increase in the speed of the clocks on board the satellites. Modeling the Earth as a large nonrotating spherical mass without any electrical charge, the effect is relatively easy to compute using the Schwarzschild metric, which describes the effects of general relativity under these simplified conditions. Fortunately, this simplification is sufficient to capture the actual effect to high precision. The two effects must both be considered because even though they are in opposite directions, they only partially cancel each other out.
One source of errors in the computations is the estimation of the speed of the signal. Differential GPS allows obtaining a much higher precision, by estimating with a higher precision the speed of the signals.
GPS is used in geography to measure the height of mountains and measure their growth. They have been used to establish the official height of Mount Everest and confirm that it is indeed the highest mountain of the Earth. There are very interesting mathematics in the signal of the GPS.
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